До какого класса геометрия?

В школе №962 г. Москвы прошел эксперимент пораннему введению геометрии в курсе математики 5-6-хклассов, идея которого принадлежит докторупедагогических наук, профессору МГОПУ ЛевитасуГ.Г. Под его руководством создана и опробованапрограмма этого курса.

Курс рассчитан на преподавание геометрии,начиная с 5 класса. Он делится на две части:

1) Пропедевтическое обучение геометрии в 5-6классах, имеющее целью подготовить учащихся квосприятию систематического курса геометрии, вкотором сделана попытка учесть историюматематики, открывшей много фактов задолго дотого, когда была осмыслена необходимость строгихдоказательств;

2) Систематический курс геометрии, начиная с 7класса, в котором планиметрия и стереометрияизучаются совместно.

Традиционный курс геометрии начинается с 7класса, причем изучается только планиметрия,когда уже поздно развивать у детейпространственное воображение, так как оноформируется в возрасте 8-12 лет, а сгеометрическими фигурами ребенок знакомится ужев первые 5-6 лет своей жизни. Геометрический опытшестилетнего ребенка необыкновенно многогранен:он многое знает, многое умеет делать руками, емудоставляет удовольствие занятие играми,развивающими пространственное воображение(рисование, конструирование, лепка). Придя вшколу, ребенок вынужден забыть о своем интересе кгеометрии.

Основной целью обучения геометрии вэкспериментальном курсе является желаниепоказать красоту обычных вещей, научить ребятвнимательно смотреть вокруг, смотреть и думать,думать и делать выводы. Учащиеся на практикедолжны увидеть необходимость изучениягеометрии. Геометрическое мышление в своейоснове является разновидностьюпространственно-образного мышления. Отсюдаважность геометрии в интеллектуальном развитииребенка. Геометрия – самый гуманитарный из всехнегуманитарных предметов. Занятие геометриейспособствует развитию интуиции, воображения идругих качеств, лежащих в основе любоготворческого процесса. Поэтому задача курса –заинтересовать, привлечь внимание всехшкольников. Ведущей методической линиейявляется организация разнообразнойпрактической деятельности: наблюдение,экспериментирование, конструирование.

Изучение курса начинается с решения задач наизмерение отрезков, углов, площадей, объектов.Для нахождения площадей сначала используетсяпалетка. Формулы появляются позднее. Опытнымпутем учащиеся приходят к выводу, что длявычисления, например, объема призмы площадьоснования надо умножить на высоту. Ребятампредлагается склеить куб и вычислить площадь егоповерхности и объем. Сразу встает вопрос оединицах измерения. Склеиваем кубы с объемом 1куб. дм (1 литр).

Потом происходит знакомство с прямоугольнымпараллелепипедом, нахождение его объема,вычисление площади поверхности. Но ведь в жизнилюди часто встречаются с призмами, в основаниикоторых лежат треугольники, четырехугольники,произвольные многоугольники. Значит, нужновычислять площади всех фигур, чтобы можно былоузнать, какое количество материала былопотрачено на изготовление той или иной фигуры,какой она будет иметь объем. Поэтому нужноизучить треугольники, параллелограммы, трапеции,многогранники и получить формулы для вычисленияих площадей. При этом вводится понятие высоты -это «рост” треугольника, параллелограмма,трапеции. Высота призмы – тоже «рост” (призмырассматриваются только прямые).

Далее встает вопрос об изготовлении емкости,объем которой в 3 раза меньше, чем объем

любой из предложенных призм. Ребята предлагаютразделить высоту на три части и взять одну такуюпризмочку. Конечно, ее объем будет в три разаменьше, чем у первоначальной.

Некоторые ребята предлагают разрезать на тричасти основание, а высоту оставить без изменения,что тоже правильно. В этот момент учительпоказывает пирамиду с таким же, как упредложенной призмы основанием и такой жевысотой, дает ее определение, с помощью»ростомера” показывает высоту пирамиды иговорит, что ее объем в три раза меньше объемапризмы, предлагая убедиться в этом практическимпутем (либо переливанием жидкости, либопересыпанием крупы). Так получается формула длявычисления объема пирамиды. Точно так жевыводятся формулы в 6 классе при изучении объемовконуса и цилиндра.

При изучении темы «Подобие” в 6 классе ребятампредлагается вспомнить «Приключение Гулливерав стране лилипутов” Джонатана Свифта. В 12 разотличаются размеры между одноименными точками уГулливера и лилипута (расстояние между глазами,между мочками ушей и т.д.). С подобием каждыйчеловек сталкивается очень часто в повседневнойжизни: фотографии, географические карты разногомасштаба, чертежи. Изучение подобия даетвозможность говорить про усеченную пирамиду иусеченный конус, их объемы и площадь поверхности.

Последний вопрос курса «Преобразованиеплоскости” очень нравится ребятам, так как даетвозможность проявить свою фантазию: послеизучения параллельного переноса, центральной иосевой симметрии они придумывают бордюры исоздают орнаменты необыкновенной красоты.

Экспериментальная программа по математике 5 – 6классах содержит два отдельных курса.

I. Курс «Математика” — 4 часа в неделю в 5классе, 5 часов в неделю в 6 классе. Математикапреподается по действующим учебникам:»Математика 5 класс”, «Математика 6 класс” (подредакцией Н.Я. Виленкина) – и содержиттрадиционные вопросы.

В 5 классе: 1) натуральные числа; 2) десятичныедроби; 3) уравнения; 4) обыкновенные дроби; 5)проценты. Понятие десятичных дробей вводитсянетрадиционно, начиная с сентября месяца.Действие с натуральными числами повторяютсяпараллельно. Раннее введение десятичных дробейдает возможность лучше отработать навыкивыполнения действий с десятичными дробями,являющиеся основным вопросом программыматематики 5 класса.

В 6 классе изучаются: 1)обыкновенные дроби 2)рациональные числа и действия над ними.

II. Курс «Введение в геометрию” — 2 часа внеделю в 5 классе, 1 час в неделю в 6 классе. Курспрактический, логичный, содержит только три типазадач: на построение, на измерение, на вычисление.Задачи на доказательство будут рассматриватьсяв систематическом курсе геометрии, начиная с 7класса.

В 5 классе учащиеся знакомятся с формулами длявычисления площадей треугольника,параллелограмма, трапеции. Площади квадрата ипрямоугольника они вычисляли в начальной школе.Кроме этого, они сначала склеят моделипрямоугольного параллелепипеда, куба, призм ипирамид с различными основаниями, а потомвычислят площадь их поверхности. Учащиесянаучатся вычислять объемы фигур, познакомившисьс формулами для вычисления объемамногогранников. Традиционные вопросы: прямая,отрезок, луч, углы и их виды- изучаются в самомначале курса геометрии.

В курсе 6 класса предлагается знакомство сформулами для вычисления длины окружности иплощади круга, нахождения площади поверхности иобъемов «круглых тел”: цилиндра, конуса, шара; атакже подобные фигуры, их свойства ипреобразованиями плоскости.

Таким образом, раннее введение курса геометриидает возможность выработать графическуюкультуру учащихся, развить пространственноемышление, не давая укорениться двумернымстереотипам, опасность возникновения которыхсуществует при ведении традиционного курсагеометрии.

Об изучении геометрии в 7 – 9 классах.

В курсе геометрии 7 – 9 классов продолженаидея совместного изучения планиметрии истереометрии. Планиметрия изучается по учебникуА.С. Атанасяна «Геометрия 7-9”, а в тех темах,которые можно применить при решении задач собъемными фигурами, эти задачи обязательнопредлагаются. Точно так же, как вэкспериментальном курсе геометрии 5 – 6 классов,при решении задач в 7 – 9 классах используютсямодели объемных фигур (каркасные, стеклянные).Формулы для вычисления площадей и объемовребятам уже знакомы, но они обязательнозаписываются на доске. Обоснование идоказательство сложных моментов, связанных сприменением понятий параллельности иперпендикулярности прямых и плоскостей впространстве, а также угла между прямой иплоскостью – отсутствуют. Решение всех задачпоказывается на моделях и дается нанаглядно-интуитивном уровне. Примерноепланирование уроков математики и геометрии в 5 –6 классах помещено в «Приложении”.

Методические рекомендации для 5 класса поизучению темы «Пирамида и ее объем”

Целью изучения этой темы является знакомство спирамидой, выведение формулы для вычисления ееобъема, умение применять формулу при решениизадач.

На первом уроке проводится беседа склассом.

На предыдущих уроках мы познакомились сфигурами, объем которых был равен одному литру иполовине литра.

Как называется эта фигура?

Ответ: призмы.

Вспомните, пожалуйста, как из литровой емкостиможно получить пол-литровую.

Ответ:

1) разрезать высоту пол-литровой призмы пополам,основание оставить без изменения и взять толькоодну часть. Это и будет объем в пол-литра.

2) разделить основание пополам, а высотуоставить без изменений. Эта призма тоже будетиметь объем в пол-литра.

Ребята, а теперь подумайте, как можно получитьфигуру, объем которой равен 1/3 литра.

Ответ:

1) разрезать высоту на 3 равные части, основаниеоставить без изменений. Взять одну такую призму.

2) разрезать на 3 равные части основание, авысоту оставить без изменений. Взять одну такуючасть.

Но коробку, вместимостью 1/3 литра, можно сделатьсовсем иначе – в форме не призмы, а пирамиды.

Пирамида – многогранник, у нее одно основание.Расстояние от вершины пирамиды до основанияназывают ее высотой. Все грани, кроме основанияназываются боковыми гранями.

Изображаем пирамиду в тетрадях.

На столе стоят прямые и наклонные призмы,пирамиды, другие многогранники.

Задание 1. Выбери из предложенных фигурпирамиды и найди их высоту.

Учитель показывает, как практически измеритьвысоту («рост”) пирамиды.

Задание 2. На рисунке изображены пирамиды.Какую форму имеют их основания и какую – боковыеграни?

Пирамиды известны людям давно. В Египтесохранились с древних времен величественныесооружения, имеющие форму пирамиды. Этоусыпальницы египетских фараонов. Они носятназвание пирамид Хеопса, потому что этот фараоних построил.

В основании пирамиды лежит квадрат со стороной233 м, высота пирамиды 146,5 м. Наклон боковых граней,все ходы внутри связаны с различнымиастрономическими и математическими законами.Это говорит об очень высоком развитии науки вЕгипте. В то время не было подъемных кранов, иговорят, что пирамиды сначала имели ступени набоковых гранях, которые потом стесали. Пристроительстве надо было решить очень важнуюзадачу: сколько камня пойдет для строительства,т.е. найти объем камня, который потребуется.Древние египтяне уже умели вычислять объемпирамиды. Они находили объем призмы с таким жеоснованием и делили на 3. Эта формула верна исейчас.

Убедимся в этом практически. Для этого возьмеммодели призмы и пирамиды, имеющие одинаковоеоснование и высоту. Пересыпая зерно илипереливая воду, определяем, что в объеме призмыуместилось три объема пирамиды. Получаемформулу:

Vпир. = S * H / 3,

где V– объем, S – площадь основания, Н – высотапирамиды.

Задание 3. Вычислить объем пирамиды сплощадью основания 4 кв. см и высотой 6 см.

Решение: V = 4 * 6/ 3 = 8 (куб. см)

Задание 4. Определите объем U пирамиды, укоторой S – площадь основания, Н – высота, если

а) S = 48 кв.дм, Н = 5 дм;

б) S = 500 кв.см; Н = 6 дм

Домашнее задание. Вычислите объем пирамидыХеопса. Ответ округлите до сотен тысяч.

Второй урок начать с проверки домашнегозадания. Объем пирамиды Хеопса:

V = 2332 * 146,5 = 2 651 112,8 (куб.м) = 2 700 000 (куб.м).

Решить задачи:

1) Объем прямой призмы равен 150 куб.м. Чему равенобъем пирамиды с таким же основанием и такой жевысотой, как у этой призмы?

2) Объем пирамиды равен 63 куб.м. Чему равен объемпрямой призмы с такой же высотой и таким жеоснованием, как у этой пирамиды?

3) Объем пирамиды равен 48 куб.м, а высота равна 3см. Чему равна площадь основания этой пирамиды?

4) На рисунке изображены прямая призма ипирамида и указаны их размеры. Вычисли объемкаждой из них.

5) Вычислить объем пирамиды с высотой 12 см, еслив основании лежит:

а) прямоугольник со сторонами 5 см и 6 см;

б) треугольник с основание 6 см и высотой 4 см;

в) ромб с диагоналями 9 см и 4 см.

Формулы для вычисления площади основанияучитель записывает на доске.

Закончить урок можно практической работой навычисление объема правильной четырехугольнойпирамиды по готовой модели (желательно раздатьодинаковые модели).

Домашнее задание. Склеить пирамиду повариантам:

  • I вариант: все грани – правильные треугольники со стороной 6 см.
  • II вариант: четырехугольную пирамиду, в основании которой лежит квадрат со стороной 6 см, а боковые грани – правильные треугольники.

Учитель обязательно показывает разверткупирамиды учащимся, объясняя, как ее сделать и какпотом склеить нужную фигуру.

На третьем уроке продолжается решениезадач на вычисление объема пирамиды.

Вычислить объем пирамиды с высотой 15 см, если:

а) в основании лежит треугольник со стороной 7см и высотой 6 см;

б) параллелограмм со стороной 9 см и высотой,проведенной к ней и равной 6 см;

в) трапеция с основанием 8 см и 10 см и высотойтрапеции 5 см.

Формулы для вычисления площади основаниязаписаны на доске. Сильным учащимся предложитьсделать чертежи к задачам. Потом показать этичертежи всему классу.

Закончить урок практической работой навычисление объема треугольной пирамиды поготовым моделям. Сильным учащимся предложитьвычислить, сколько материала пошло наизготовление этой модели.

После этого в классе обсудить вопрос овычислении площади поверхности тетраэдра.

Дома ребята вычисляют площадь поверхности иобъем своих моделей.

Приложение.

Литература.

1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Нагляднаягеометрия 5 – 6 классы. М., 2001

2. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть I. М.,1996

3. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть II.М., 1996

4. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть III.М., 1996

5. Левитас Г.Г. «Введение в геометрию”.Математика в школе. М., 1990, № 6

6. Атанасян А.С. «Геометрия 10-11”. М., 2008.

7. Виленкин Н.Я. «Математика 5 класс”. М.2010г.

8. Виленкин Н.Я. «Математика. 6 класс”. М.2010г.9.Левитас Г.Г. Занимательная математика. М. 2002.

10.Тапилина Л.А. «Математика 5класс поурочныепланы”. Волгоград, изд. «Учитель”, 2003.

11.Тапилина Л.А. «Математика 6класс поурочныепланы”. Волгоград, изд. «Учитель”, 2003.

12. Выговская В.В. «Поурочные разработки поматематике 5класс”. М., «Вако”, 2008.

13. Выговская В.В. «Поурочные разработки поматематике 6класс”. М., «Вако”, 2008.

14. Под ред. Соловейчик И.Л.»Я иду на урокматематики 5класс”, М., «Первое сентября”, 2002

15. Под ред. Соловейчик И.Л.»Я иду на урокматематики 6класс”, М., «Первое сентября”, 2002.

Геометрия является важной частью математики, которую начинают изучать в школах с 7 класса в качестве отдельного предмета. Что такое геометрия? Что она изучает? Какие полезные выводы можно из нее извлечь? Все эти вопросы подробно рассматриваются в статье.

Понятие о геометрии

Наука геометрия

Под этой наукой понимают ветвь математики, которая занимается изучением свойств разных фигур на плоскости и в пространстве. Само слово «геометрия» с древнегреческого языка означает «измерение земли», то есть любые реальные или воображаемые объекты, которые имеют конечную длину вдоль хотя бы одной из трех осей координат (наше пространство является трехмерным), подвергаются изучению рассматриваемой наукой. Можно сказать, что геометрия — математика пространства и плоскости.

В ходе своего развития геометрия обзавелась набором понятий, которыми она оперирует с целью решения различных задач. К таким понятиям относятся точка, прямая, плоскость, поверхность, отрезок, окружность, кривая, угол и другие. Основой этой науки являются аксиомы, то есть концепции, связывающие геометрические понятия в рамках утверждений, которые принимаются в качестве истинных. На основании аксиом строятся и доказываются теоремы.

Когда появилась эта наука

Что такое геометрия с точки зрения истории? Здесь следует сказать, что она является очень древним учением. Так, ее использовали древние вавилоняне при определении периметров и площадей простых фигур (прямоугольников, трапеций и др.). Развита она была и в Древнем Египте. Достаточно вспомнить знаменитые пирамиды, строительство которых было бы невозможно без знания свойств объемных фигур, а также без умения ориентироваться на местности. Отметим, что знаменитое число «пи» (его приблизительное значение), без которого невозможно определить параметры круга, было известно египетским жрецам.

Разрозненные знания о свойствах плоских и объемных тел были собраны в единую науку только во времена Античной Греции благодаря деятельности ее философов. Самым важным трудом, на котором основываются современные геометрические учения, являются «Элементы» Евклида, которые были им составлены приблизительно в 300 году до нашей эры. Около 2000 лет этот трактат являлся основой для каждого ученого, который занимался исследованием пространственных свойств тел.

Греческий философ Евклид

В XVIII веке французский математик и философ Рене Декарт заложил основы так называемой аналитической науки геометрии, которая описывала с помощью численных функций любой пространственный элемент (прямую, плоскость и так далее). С этого времени начинают появляться многие ветви в геометрии, причиной существования которых является пятый постулат в «Элементах» Евклида.

Евклидова геометрия

Что такое геометрия Евклида? Это достаточно стройное учение о пространственных свойствах идеальных объектов (точек, прямых, плоскостей и т.д.), которое основывается на 5 постулатах или аксиомах, изложенных в труде под названием «Элементы». Аксиомы приведены ниже:

  1. Если даны две точки, то можно провести всего одну прямую, которая их соединит.
  2. Всякий отрезок можно продолжить бесконечно из любого его конца.
  3. Любая точка пространства позволяет начертить окружность произвольного радиуса так, чтобы сама точка находилась в центре.
  4. Все прямые углы являются подобными или конгруэнтными.
  5. Через всякую точку, которая не принадлежит данной прямой, можно провести всего одну линию, параллельную ей.

Евклидова геометрия составляет основу любого современного школьного курса по этой науке. Более того, именно ею человечество пользуется в ходе своей жизнедеятельности при конструировании зданий и сооружений и при составлении топографических карт. Здесь важно отметить, что набор постулатов в «Элементах» не является полным. Он был расширен немецким математиком Давидом Гильбертом в начале XX века.

Виды евклидовой геометрии

Мы разобрались, что такое геометрия. Рассмотрим, какие ее виды бывают. В рамках классического учения принято выделять два вида этой математической науки:

  • Планиметрия. Она изучает свойство плоских объектов. Например, расчет площади треугольника или нахождение его неизвестных углов, определение периметра трапеции или длины окружности — это задачи планиметрии.
  • Стереометрия. Объектами изучения этой ветви геометрии являются пространственные фигуры (все точки, которые их образуют, лежат в разных плоскостях, а не в одной). Так, определение объема пирамиды или цилиндра, изучение свойств симметрии куба и конуса — это примеры задач стереометрии.

Неевклидовы геометрии

Николай Лобачевский

Что такое геометрия в ее широком понимании? Помимо привычной нам науки о пространственных свойствах тел, существуют также неевклидовы геометрии, в которых пятый постулат в «Элементах» нарушается. К ним относятся эллиптическая и гиперболическая геометрии, которые были созданы в XIX веке немецким математиком Георгом Риманом и русским ученым Николаем Лобачевским.

Изначально полагали, что неевклидовы геометрии имеют узкую область применения (например, в астрономии при изучении небесной сферы), а само физическое пространство является евклидовым. Ошибочность последнего утверждения показал Альберт Эйнштейн в начале XX века, разработав свою теорию относительности, в которой он обобщил понятия пространства и времени.

Геометрия 9 класс

Геометрия в школе

Как было сказано выше, изучение в школе геометрии начинается с 7 класса. При этом школьникам демонстрируют основы планиметрии. Геометрия 9 класса уже включает изучение трехмерных тел, то есть стереометрию.

Главная задача школьного курса состоит в том, чтобы развить у школьников абстрактное мышление и воображение, а также научить их мыслить логически.

Геометрия Ершова

Многие исследования показали, что при изучении этой науки у школьников наблюдаются проблемы с абстрактным мышлением. Когда формулируется для них геометрическая задача, они часто не понимают ее суть. У старшеклассников к проблеме с воображением добавляются трудности понимания математических формул для определения объема и площади поверхности разверстки пространственных фигур. Часто старшеклассники при изучении геометрии 9 класса не знают, какой формулой следует воспользоваться в конкретном случае.

Школьные учебники

Математика геометрия

Существует большое количество учебных пособий для обучения школьников этой науке. Одни из них дают только базовые знания, например, учебники Л. С. Атанасяна или А. В. Погорелова. Другие преследуют цель углубленного изучения науки. Здесь можно выделить учебник А. Д. Александрова или полный курс геометрии Бевза Г. П.

Поскольку в последние годы для сдачи всех экзаменов в школе введен единый стандарт ЕГЭ, стали необходимы учебники и решебники, которые позволяют ученику быстро самостоятельно разобраться с необходимой темой. Хорошим примером таких пособий можно назвать геометрию Ершовой А. П., Голобородько В. В.

Любой из названных выше учебников имеет как положительные, так и отрицательные отзывы со стороны учителей, поэтому преподавание в школе геометрии часто осуществляется с использованием нескольких учебников.